一、數(shù)據(jù)的概括性度量

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)概括：

統(tǒng)計(jì)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要通過(guò)利用概率論建立數(shù)學(xué)模型，收集所觀察系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，進(jìn)行量化的分析、總結(jié)，并進(jìn)而進(jìn)行推斷和預(yù)測(cè)，為相關(guān)決策提供依據(jù)和參考。統(tǒng)計(jì)學(xué)主要又分為描述統(tǒng)計(jì)學(xué)和推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。給定一組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)可以摘要并且描述這份數(shù)據(jù)，這個(gè)用法稱作為描述統(tǒng)計(jì)學(xué)。另外，觀察者以數(shù)據(jù)的形態(tài)建立出一個(gè)用以解釋其隨機(jī)性和不確定性的數(shù)學(xué)模型，以之來(lái)推論研究中的步驟及母體，這種用法被稱做推論統(tǒng)計(jì)學(xué)。

2、數(shù)據(jù)的概括性度量：

1）集中趨勢(shì)的度量：

眾數(shù)：眾數(shù)(Mode)，是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫眾數(shù)，有時(shí)眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個(gè)。用M表示。

中位數(shù)：中位數(shù)(Median)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來(lái)，形成一個(gè)數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)。中位數(shù)用Me表示。計(jì)算公式：

四分位數(shù)：四分位數(shù)（Quartile）把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)。QL=下四分位數(shù)，即第25百分位數(shù)（ n / 4）；QU=上四分位數(shù)，即第75百分位數(shù)（ 3n / 4）。

平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)。

2）離散趨勢(shì)的度量：

四分位差：四分位差(quartile deviation)，也稱為內(nèi)距或四分間距(inter-quartile range)，它是上四分位數(shù)(QU，即位于75%)與下四分位數(shù)(QL，即位于25%)的差。

極差：全距(Range)，又稱極差，是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)(measures of variation)，其最大值與最小值之間的差距

方差：方差（variance)（樣本方差）是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)，通常以σ2表示，方差的計(jì)算公式為：

標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差 (Standard Deviation)，也稱均方差（Mean square error）， 。

離散系數(shù)：離散系數(shù)又稱變異系數(shù)，CV(Coefficient of Variance)表示。CV(Coefficient of Variance)：標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。離散系數(shù)越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，反之，亦然。

3）偏度與峰度的度量：

偏態(tài)系數(shù)：偏度(Skewness)亦稱偏態(tài)、偏態(tài)系數(shù)，偏度是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度的度量，是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布非對(duì)稱程度的數(shù)字特征。Sk>0時(shí)，分布呈正偏態(tài)（右偏），Sk<0時(shí)，分布呈負(fù)偏態(tài)（左偏）。

峰態(tài)系數(shù)：（Kurtosis)峰度系數(shù)是用來(lái)反映頻數(shù)分布曲線頂端尖峭或扁平程度的指標(biāo)。在正態(tài)分布情況下，峰度系數(shù)值是3。>3的峰度系數(shù)說(shuō)明觀察量更集中，有比正態(tài)分布更短的尾部；<3的峰度系數(shù)說(shuō)明觀測(cè)量不那么集中，有比正態(tài)分布更長(zhǎng)的尾部，類似于矩形的均勻分布。峰度系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤用來(lái)判斷分布的正態(tài)性。峰度系數(shù)與其標(biāo)準(zhǔn)誤的比值用來(lái)檢驗(yàn)正態(tài)性。如果該比值絕對(duì)值大于2，將拒絕正態(tài)性。

3、Python代碼實(shí)現(xiàn)：

<span style='font-family:Microsoft YaHei;font-size:12px;'>#以下代碼基于Python3.5環(huán)境編寫import numpy as npimport stats as stsscores = [31, 24, 23, 25, 14, 25, 13, 12, 14, 23, 32, 34, 43, 41, 21, 23, 26, 26, 34, 42, 43, 25, 24, 23, 24, 44, 23, 14, 52,32, 42, 44, 35, 28, 17, 21, 32, 42, 12, 34]#集中趨勢(shì)的度量print(’求和：’,np.sum(scores))print(’個(gè)數(shù)：’,len(scores))print(’平均值:’,np.mean(scores))print(’中位數(shù):’,np.median(scores))print(’眾數(shù):’,sts.mode(scores))print(’上四分位數(shù)’,sts.quantile(scores,p=0.25))print(’下四分位數(shù)’,sts.quantile(scores,p=0.75))#離散趨勢(shì)的度量print(’最大值:’,np.max(scores))print(’最小值:’,np.min(scores))print(’極差:’,np.max(scores)-np.min(scores))print(’四分位差’,sts.quantile(scores,p=0.75)-sts.quantile(scores,p=0.25))print(’標(biāo)準(zhǔn)差:’,np.std(scores))print(’方差:’,np.var(scores))print(’離散系數(shù):’,np.std(scores)/np.mean(scores))#偏度與峰度的度量print(’偏度:’,sts.skewness(scores))print(’峰度:’,sts.kurtosis(scores))</span>

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