假設我們遇到如下問題：①對于M個方案，每個方案有N個屬性，在已知各個方案每個屬性值&&任意兩個屬性的重要程度的前提下，如何選擇最優(yōu)的方案？②對于一個層級結構，在已知各底層指標相互之間的重要程度下，如何確定各底層指標對最高級指標的權值？… …此時，便可用層次分析法將我們的主觀想法——“誰比誰重要”轉換為客觀度量——“權值”

層次分析法的基本思想是將復雜問題分為若干層次和若干因素，在同一層次的各要素之間簡單地進行比較判斷和計算，并評估每層評價指標對上一層評價指標的重要程度，確定因素權重，從而為選擇最優(yōu)方案提出依據。步驟如下：

（1）根據自己體系中的關聯及隸屬關系構建有層次的結構模型，一般分為三層，分別為最高層、中間層和最低層。

（2）構造判斷矩陣

假設該層有n個評價指標u1, u2, …, un，設cij為ui相對于uj的重要程度，根據公式列出的1-9標度法，判斷兩兩評價指標之間的重要性。

根據比較得出判斷矩陣：C=(cij)n*n其屬性為cij>0, cji=1/cij,cii=1

（3）層次單排序：從下往上，對于每一層的每個判斷矩陣，計算權向量和一致性檢驗。計算矩陣C的最大特征根λmax及對應的特征向量(P1,P2,…, Pn)

一致性指標定義為：

CI(Consistency Ratio)稱為一致性比例。CI=0時，具有完全一致性;CI接近于0，具有滿意的一致性;CI越大，不一致性越嚴重。

一致性比率定義為：

其中RI稱為隨機性指標，參照表如下：

只有當CR<0.1，則認為該判斷矩陣通過了一致性檢驗，即該矩陣自相矛盾產生的誤差可忽略。將矩陣C最大特征根對應的特征向量元素作歸一化處理，即可得到對應的權重集(C1,C2,…,Cn)。

（4）層次總排序

從上往下，依次計算每一層各指標對最上層指標的權值，以及每一層的綜合一致性比率CR。

由于層次分析法選用1-9標度構建判斷矩陣，而大部分時候我們自己也不能很好度量重要性的程度，故趙中奇提出用-1，0，1三標度來構建判斷矩陣。同時，自動調整判斷矩陣，消除前后時刻主觀比較重要性時的矛盾現象，即讓矩陣變?yōu)橐恢滦跃仃嚕–R=0）。構建并調整判斷矩陣以及算權值向量的步驟如下：

（1）初始化m=1a、確定比較矩陣C=(cij)n*n的第m行元素

b、劃分指標集合Dm={j|j=m+1,…,n}為Hm={j|cmj=-1,j∈Dm}、Mm ={j|cmj=0,j∈Dm}與Lm={j|cmj=1,j∈Dm}

并構造集合為，其中×表示集合的笛卡爾積

c、若DLm、DMm、DHm全為空集，轉d，否則令：

d、若m=n-1，轉第二步，否則令m=m+1，轉回a

（2）求比較矩陣C

（3）求B=(bij)n*n，其中

（4）求A=(aij)n*n的特征向量，作為各評價指標的相對權重值，其中:

由于網上找到的代碼大多只能算三層的體系，而且沒有趙中奇論文中的自調節(jié)層次分析法代碼。因此，自己寫了一個可以計算超過3層的層次分析法和自調節(jié)層次分析法代碼！

構建如下4層體系

層次分析法得到的權值

判斷矩陣就不列出來了了，可以在代碼里找到，得到第四層對A的權值條形圖如下：

自調節(jié)層次分析法得到的權值

自調節(jié)層次分析法對高階判斷矩陣更有優(yōu)勢，而算低階判斷矩陣時的結果和層次分析法差不多。

代碼包括了層次分析法與自調節(jié)層次分析法的實例，運行的時候注釋掉其中一個就行！

'''Created on Tue Jan 26 10:12:30 2021自適應層數的層次分析法求權值@author: lw'''import numpy as npimport itertoolsimport matplotlib.pyplot as plt#自適應層數的層次分析法class AHP(): ’’’ 注意：python中l(wèi)ist與array運算不一樣，嚴格按照格式輸入！ 本層次分析法每個判斷矩陣不得超過9階，各判斷矩陣必須是正互反矩陣 FA_mx：下一層對上一層的判斷矩陣集（包含多個三維數組，默認從目標層向方案層依次輸入判斷矩陣。同層的判斷矩陣按順序排列，且上層指標不共用下層指標） string：默認為’norm’（經典的層次分析法，需輸入9標度判斷矩陣），若為’auto’（自調節(jié)層次分析法，需輸入3標度判斷矩陣） ’’’#初始化函數 def __init__(self,FA_mx,string=’norm’):self.RI=np.array([0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49]) #平均隨機一致性指標if string==’norm’: self.FA_mx=FA_mx #所有層級的判斷矩陣elif string==’auto’: self.FA_mx=[] for i in range(len(FA_mx)): temp=[] for j in range(len(FA_mx[i])): temp.append(self.preprocess(FA_mx[i][j])) self.FA_mx.append(temp) #自調節(jié)層次分析法預處理后的所有層級的判斷矩陣self.layer_num=len(FA_mx) #層級數目self.w=[] #所有層級的權值向量self.CR=[] #所有層級的單排序一致性比例self.CI=[] #所有層級下每個矩陣的一致性指標self.RI_all=[] #所有層級下每個矩陣的平均隨機一致性指標self.CR_all=[] #所有層級的總排序一致性比例self.w_all=[] #所有層級指標對目標的權值 #輸入單個矩陣算權值并一致性檢驗(特征根法精確求解) def count_w(self,mx):n=mx.shape[0]eig_value, eigen_vectors=np.linalg.eig(mx)maxeig=np.max(eig_value) #最大特征值maxindex=np.argmax(eig_value) #最大特征值對應的特征向量eig_w=eigen_vectors[:,maxindex]/sum(eigen_vectors[:,maxindex]) #權值向量CI=(maxeig-n)/(n-1)RI=self.RI[n-1]if(n<=2 and CI==0):CR=0.0else: CR=CI/RIif(CR<0.1): return CI,RI,CR,list(eig_w.T)else: print(’該%d階矩陣一致性檢驗不通過,CR為%.3f’%(n,CR)) return -1.0,-1.0,-1.0,-1.0#計算單層的所有權值與CR def onelayer_up(self,onelayer_mx,index):num=len(onelayer_mx) #該層矩陣個數CI_temp=[]RI_temp=[]CR_temp=[]w_temp=[]for i in range(num): CI,RI,CR,eig_w=self.count_w(onelayer_mx[i]) if(CR>0.1):print(’第%d層的第%d個矩陣未通過一致性檢驗’%(index,i+1))return CI_temp.append(CI) RI_temp.append(RI) CR_temp.append(CR) w_temp.append(eig_w)self.CI.append(CI_temp)self.RI_all.append(RI_temp)self.CR.append(CR_temp)self.w.append(w_temp) #計算單層的總排序及該層總的一致性比例 def alllayer_down(self):self.CR_all.append(self.CR[self.layer_num-1])self.w_all.append(self.w[self.layer_num-1])for i in range(self.layer_num-2,-1,-1): if(i==self.layer_num-2):temp=sum(self.w[self.layer_num-1],[]) #列表降維，扁平化處理，取上一層的權值向量 CR_temp=[] w_temp=[] CR=sum(np.array(self.CI[i])*np.array(temp))/sum(np.array(self.RI_all[i])*np.array(temp)) if(CR>0.1):print(’第%d層的總排序未通過一致性檢驗’%(self.layer_num-i))return for j in range(len(self.w[i])):shu=temp[j]w_temp.append(list(shu*np.array(self.w[i][j]))) temp=sum(w_temp,[])#列表降維，扁平化處理，取上一層的總排序權值向量 CR_temp.append(CR) self.CR_all.append(CR_temp) self.w_all.append(w_temp)return #計算所有層的權值與CR,層次總排序 def run(self):for i in range(self.layer_num,0,-1): self.onelayer_up(self.FA_mx[i-1],i)self.alllayer_down()return #自調節(jié)層次分析法的矩陣預處理過程 def preprocess(self,mx):temp=np.array(mx)n=temp.shape[0]for i in range(n-1): H=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==-1] M=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==0] L=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==1] DL=sum([[i for i in itertools.product(H,M)],[i for i in itertools.product(H,L)],[i for i in itertools.product(M,L)]],[]) DM=[i for i in itertools.product(M,M)] DH=sum([[i for i in itertools.product(L,H)],[i for i in itertools.product(M,H)],[i for i in itertools.product(L,M)]],[]) if DL:for j in DL: if(j[0]<j[1] and i<j[0]): temp[int(j[0])][int(j[1])]=1 if DM:for j in DM: if(j[0]<j[1] and i<j[0]): temp[int(j[0])][int(j[1])]=0 if DH:for j in DH: if(j[0]<j[1] and i<j[0]): temp[int(j[0])][int(j[1])]=-1for i in range(n): for j in range(i+1,n):temp[j][i]=-temp[i][j]A=[]for i in range(n): atemp=[] for j in range(n):a0=0for k in range(n): a0+=temp[i][k]+temp[k][j]atemp.append(np.exp(a0/n)) A.append(atemp)return np.array(A) #%%測試函數if __name__==’__main__’ : ’’’ # 層次分析法的經典9標度矩陣 goal=[] #第一層的全部判斷矩陣 goal.append(np.array([[1, 3], [1/3 ,1]])) criteria1 = np.array([[1, 3], [1/3,1]]) criteria2=np.array([[1, 1,3],[1,1,3],[1/3,1/3,1]]) c_all=[criteria1,criteria2] #第二層的全部判斷矩陣 sample1 = np.array([[1, 1], [1, 1]]) sample2 = np.array([[1,1,1/3], [1,1,1/3],[3,3,1]]) sample3 = np.array([[1, 1/3], [3, 1]]) sample4 = np.array([[1,3,1], [1 / 3, 1, 1/3], [1,3, 1]]) sample5=np.array([[1,3],[1/3 ,1]]) sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5] #第三層的全部判斷矩陣 FA_mx=[goal,c_all,sample_all] A1=AHP(FA_mx) #經典層次分析法 A1.run() a=A1.CR #層次單排序的一致性比例（從下往上） b=A1.w #層次單排序的權值（從下往上） c=A1.CR_all #層次總排序的一致性比例（從上往下） d=A1.w_all#層次總排序的權值（從上往下） e=sum(d[len(d)-1],[]) #底層指標對目標層的權值 #可視化 plt.rcParams[’font.sans-serif’] = [’SimHei’] plt.rcParams[’axes.unicode_minus’] = False name=[’D1’,’D2’,’D3’,’D4’,’D5’,’D6’,’D7’,’D8’,’D9’,’D10’,’D11’,’D12’] plt.figure() plt.bar(name,e) for i,j in enumerate(e):plt.text(i,j+0.005,’%.4f’%(np.abs(j)),ha=’center’,va=’top’) plt.title(’底層指標對A的權值’) plt.show() ’’’#自調節(jié)層次分析法的3標度矩陣(求在線體系的權值) goal=[] #第一層的全部判斷矩陣 goal.append(np.array([[0, 1], [-1,0]])) criteria1 = np.array([[0, 1], [-1,0]]) criteria2=np.array([[0, 0,1],[0,0,1],[-1,-1,0]]) c_all=[criteria1,criteria2] #第二層的全部判斷矩陣 sample1 = np.array([[0, 0], [0, 0]]) sample2 = np.array([[0,0,-1], [0,0,-1],[1,1,0]]) sample3 = np.array([[0, -1], [1, 0]]) sample4 = np.array([[0,1,0], [-1, 0,-1], [0,1,0]]) sample5=np.array([[0,1],[-1 ,0]]) sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5] #第三層的全部判斷矩陣 FA_mx=[goal,c_all,sample_all] A1=AHP(FA_mx,’auto’) #經典層次分析法 A1.run() a=A1.CR #層次單排序的一致性比例（從下往上） b=A1.w #層次單排序的權值（從下往上） c=A1.CR_all #層次總排序的一致性比例（從上往下） d=A1.w_all#層次總排序的權值（從上往下） e=sum(d[len(d)-1],[]) #底層指標對目標層的權值 #可視化 plt.rcParams[’font.sans-serif’] = [’SimHei’] plt.rcParams[’axes.unicode_minus’] = False name=[’D1’,’D2’,’D3’,’D4’,’D5’,’D6’,’D7’,’D8’,’D9’,’D10’,’D11’,’D12’] plt.figure() plt.bar(name,e) for i,j in enumerate(e):plt.text(i,j+0.005,’%.4f’%(np.abs(j)),ha=’center’,va=’top’) plt.title(’底層指標對A的權值’) plt.show()

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